2 pに関して一様と言う言葉はpに関係なくと言う言葉とほぼ同値であって，一様性が保 証されていないと，各pによって収束する速さが異なって，pに関する連続性や積分の 順序交換や積分と微分の順序交換が保証されなくなる． 定理13.1 (（絶対）一様収束であるための十分条件). 積分記号下の微分は二重極限の交換である． しかし，恐れるなかれ，積分と微分の順序交換そのものは怖くはない． 結局，いつでもヤバいのは広義積分だ． 基本の考え方 定理：極限と積分の順序交換: 定理 (条件1) 関数列{f n (x)}の各項f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x),…がすべて閉区間[a,b]上で連続かつ (条件2) 関数列{f n (x)}が閉区間[a,b]上で極限関数f (x)に一様収束が成り立つ ならば、 ないし、 極限関数f (x)を、 で表して、 [文献]小平『解析入門I』 5章3節a定理5.8(p.223); 極限分野は、 単純な極限計算がほとんどの割合を占める。 しかし、極限は直感とはかけ離れていることも多く、その扱いに戸惑いやすい。また、極限を求めるために今までの常識とは方向性が異なる変形も … 5.一曲面上的點距離一平面最近，其該點的法向量和平面法向量平行 6.稍有變化性的方向導數，依題意解聯立求出該點的梯度再求 7.曲面表面積計算，算球面的一部份可用球座標形式 8.此向量場有不可連續點，使用Green定理需挖洞修正 1. (例1) 次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：Δxの役割】 (考え方) 1／n＝Δx がなければ積分できません．なければ作ります．このために，1／nでくくります．（区間の幅は1） k／n＝x k → f（x k ）＝ → f（x）＝ とします．
極限分野は、 単純な極限計算がほとんどの割合を占める。 しかし、極限は直感とはかけ離れていることも多く、その扱いに戸惑いやすい。また、極限を求めるために今までの常識とは方向性が異なる変形も … 積分的極限常常不易交換（區域無法分解或者公式很複雜），這時可以採用變量替換來重寫積分，令區域更加簡易，從而可以用更簡單的公式表達。為此，函數必須變換到新坐標系下。 例（1-a）: 1 計算多重積分的訣竅 本文主要以概念性的方式來談積分，不嚴格證明‧如有不嚴謹處，請多包含‧ 我們先從雙重積分開始談‧假設R是平面上的有界區域，我們希望計算連續函數f(x;y)在R上 的積分： ∫∫ ( 1 ) 極限の順序交換はいつでもできると思って気楽に計算する立場はおおあり です。計算しておかしな結果が出て来なければどんどん順序交換して良い。 ( 2 ) 上に述べたように、ノータイムで極限の順序交換を心の中で証明できる技 2 pに関して一様と言う言葉はpに関係なくと言う言葉とほぼ同値であって，一様性が保 証されていないと，各pによって収束する速さが異なって，pに関する連続性や積分の 順序交換や積分と微分の順序交換が保証されなくなる． 定理13.1 (（絶対）一様収束であるための十分条件). 微積分で極限と積分を入れ替えて計算しても良いときってどんなときですか？ 積分と極限の入れ替えが可能な十分条件は色々ありますが、次の定理が単純で強力です。非常によく使われます。単調収束定理 … POINT 微積分の順序交換に関する定理の紹介． 応用例としてGauss積分について解説する． 微積分の順序交換に関する定理と，応用例を紹介します． 極限記号$\lim$と，積分$\displaystyle\int$の順序交換（優収束定理）については，次の記事を参照して下さい： 【Lebesgue積分】優収束定理（li… 積分の収束 積分と極限の交換は，積分で定義される汎関数（関数の関数）の連続性の話である 定理1：有界閉区間[a;b]上の可積分関数の列(fn)が関数f に一様収束するならば lim n!1 Z b a fn(x)dx = Z b a f(x)dx (1) が成り立つ． lim[x→0]logf(x)=logaが成立するときlim[x→0]f（x）＝aが成立する理由は何ですか？一般には極限と交換はできないと思います。例えば極限と積分など（項別積分？だっけ）対数の場合はどういった理由で交換できるのですか？そう。つまり、l となるL-積分を導入し，極限操作と積分の交換可能性について調べる．その後， この導入を支える抽象論(現在，測度論と呼ばれているもの)を紹介し，続けてそ れのユークリッド空間での具体例であるLebesuge 測度に関わる話題を紹介する (2) (積分と極限の順序交換定理) f(x)が積分可能の時 lim n→∞ ∫ b a fn(x)dx = ∫ b a f(x)dx (1.1) となるか?
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