4.反変ベクトル 上の基底ベクトルの変換を踏まえて、 反変ベクトル と 共変ベクトル が定義される。反変ベクトルというのは、\(x\)から\(x'\)への座標変換によって次のような変換を受ける変数の組であり、添字を上に付けて表すと約束されている。 反変ベクトルと共変ベクトルを例示して簡単に説明 私は今相対論を復習しているのですが、本当に理解しようと思うとテンソルでまずは躓く。 そのテンソルを理解しようと思って調べていくと反変ベクトル、共変ベクトルで躓…
共変ベクトル、反変ベクトル ところでベクトル空間には双対関係がある。 もちろん・・・ 双対って何やねん なのだ。 そしてベクトルにも極性ベクトル、軸性ベクトル以外にも 共変ベクトルと反変ベクトル があるのだ。 もちろん・・・ 共変ベクトルと反変ベクトルとは何やねん! 添字の数に注目して，スカラー，ベクトル，二階のテンソルと順番に見てみましたが，どうやらテンソルとはベクトルの概念をさらに拡張したもののようですね． 変換則. 反変な成分を持つベクトルにはたとえば、観測者に対する物体の相対的な位置や、速度、加速度、躍度など位置の時間微分がある。 アインシュタインの縮約 を用いると、反変成分は 上付き添字 を用いて以下のように表される。
つまり反変ベクトル（座標ベクトル）の時間微分はそのまま反変ベクトル（速度ベクトル）になります。 4元速度については別稿「4元速度（4元運動量、4元電流密度）、4元加速度と4元力」2．も参照され … 反変ベクトルと共変ベクトルを例示して簡単に説明 私は今相対論を復習しているのですが、本当に理解しようと思うとテンソルでまずは躓く。 そのテンソルを理解しようと思って調べていくと反変ベクトル、共変ベクトルで躓… 反変な成分を持つベクトルにはたとえば、観測者に対する物体の相対的な位置や、速度、加速度、躍度など位置の時間微分がある。 アインシュタインの縮約 を用いると、反変成分は 上付き添字 を用いて以下のように表される。 スカラー ，ベクトル ，計量テンソル の添字の数は，それぞれ でした．添字の数がもっと多い量 も，いくらでも考えるこ� 一つの反変ベクトル v k の x j 方向の共変微分 ∇ は1階共変、1階反変の混合テンソルであるが、これから作ったスカラー スカラーだからといって何でもかんでも自由自在に足したり引いたりできるということはありません。 「スカラーはベクトルとちがって簡単だなー」なんて思ってると足をすくわれますよ？ 以上，ベクトルとスカラーに関する基本知識でした！ 相対性理論を理解するために必要な、反変ベクトル、共変ベクトルに関してまとめました。例も示し、簡単でかつわかりやすく説明します。なぜ速度ベクトルが反変ベクトルで、ポテンシャルの勾配ベクトルが共変ベクトルなのか。 反変ベクトルと共変ベクトルの内積を取った量はスカラーになるわけだ。 内積を取ればスカラーになるのは当たり前だと思うかも知れない。 もちろん、内積を計算して作ったものであろうとなかろうと、スカラー量は座標変換で値が変わることはない。 Chapter 1 序章 1.1 相対性理論の考え方 自然科学では自然現象に内在する規則性を探求することが主要な目的の1つである。 速度ベクトルについても見ておきましょう。結論からいえば速度ベクトルは反変ベクトルですので、以下の説明では最初から上付き添え字で表現します（あとから書き直すのが面倒なので）。 をベクトル解析に倣い勾配（gradient）と呼ぶ。 発散（divergence） 反変ベクトルの発散. 物理の本とかベクトル解析の本に出てくる反変ベクトル・共変ベクトルというのが昔から何か気持ち悪かった(もっと気持ち悪くてよくわからないのが極性ベクトルと軸性ベクトルだけど、それは置いといて)。それについてのメモ。 基底ベクトル成分が共変であれば双対基底ベクトル成分は反変である事を確認していきましょう。 これから4．1節の例で出した斜交座標系をX'軸方向に2倍引き伸ばす座標系に変換する場合をみていきます。
さて、スカラーの微分、ということを考えますと、共変ベクトルという概念もすんなり出てまいりまして、反変ベクトルと共変ベクトルという二つの違いが明白になるのですが、このお話はまた後ほどのお楽しみ、ということにしたいと思います。
反変ベクトルの方も同じく，式 の形で基底ベクトルを明示的に表わすと， となります． の基底ベクトル の添字は下付になっています．. スカラーとはここで見てても電車に乗ってみてても 同じ値をとるものです。ベクトルは見る場所（系）で方向や値が変わってきます これと同じような感じで一般の反変、共変ベクトルを定義します ! 反変ベクトルと共変ベクトルの内積を取った量はスカラーになるわけだ。 内積を取ればスカラーになるのは当たり前だと思うかも知れない。 もちろん、内積を計算して作ったものであろうとなかろうと、スカラー量は座標変換で値が変わることはない。 反変ベクトルと共変ベクトルの内積を取った量はスカラーになるわけだ。 内積を取ればスカラーになるのは当たり前だと思うかも知れない。 もちろん、内積を計算して作ったものであろうとなかろうと、スカラー量は座標変換で値が変わることはない。