二重指数関数型積分公式 (double exponential formula) 先述した通り，特殊条件下では台形公式が異常な高精度を叩き出すことがある． DE (double exponential) 積分公式は，この特殊条件を人工的に作り出す台形公式の最終進化形態である 6 ． ある有名な例では、7-点ガウス則と 15-点クロンロッド則が組み合わされる(Kahaner, Moler & Nash 1989, §5.5)。ガウスの点はクロンロッドの点に組み込まれるため、求積および誤差推定に必要な函数の評価の総数は 15 となる。 「応力は積分点で出力されています」と言うと、有限要素法の経験の浅い方にはきょとんとした顔をされることがよくある。ここでいう積分点とはガウスの数値積分点のことである。 有限要素法での重要な局面の1つに各要素の剛性マトリックスを求めることがある 図8のように、エクセルシート上に、計算済のルジャンドル多項式の解と重みwiをコピーし、それに対応する関数値f(x)とwi・f(x)を計算する。wi・f(x)の合計値が求める積分値となる。 図8 ガウス・ルジャンドル公式による数値積分用のエクセルシート ツ（Newton-Cotes）公式という。一方, 被積分関数が多項式であると仮定した場合にで きるだけ高次の場合まで正しい公式になるように最適化した分点と重みを用いるのがガ ウス型公式である。ガウス型公式は少ない分点で精度よい積分値を得られるが、分点お 計算区間内の途中に特異点は無く、計算区間の端点に特異性がある場合、変数変換型の数値積分である 二重指数関数型数値積分 が有効です。 具体的には例えば \(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x} dx \) や \(\displaystyle \int_{-1}^{1} x^{-0.8} dx \) の事です。 ガウス積分の公式の導出方法を示します．より一般的な「指数部が多項式である場合」についても説明し，正規分布（ガウス分布）との関係を述べます．ヤコビアンを用いて2重積分の極座標変換をおこないます．ガウス積分は正規分布の期待値や分散を計算する際にも必要となります． グラフで表されるとします（満点が100点で平均点が50点）。 このとき、x = 0からx = 100の範囲でこのグラフで囲まれた部分の面積が 750となります。 一般に、自然界で起こるあらゆる現象は、このような曲線で表されると 言われています。
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